Bilangan Biner

Sistem bilangan biner

Sistem bilangan biner atau sistem bilangan basis dua adalah sebuah sistem penulisan angka dengan menggunakan dua simbol yaitu 0 dan 1. Sistem bilangan biner modern ditemukan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz pada abad ke-17. Sistem bilangan ini merupakan dasar dari semua sistem bilangan berbasis digital. Dari sistem biner, kita dapat mengkonversinya ke sistem bilangan Oktal atau Hexadesimal. Sistem ini juga dapat kita sebut dengan istilah bit, atau Binary Digit. Pengelompokan biner dalam komputer selalu berjumlah 8, dengan istilah 1 Byte/bita. Dalam istilah komputer, 1 Byte = 8 bit. Kode-kode rancang bangun komputer, seperti ASCII, American Standard Code for Information Interchange menggunakan sistem peng-kode-an 1 Byte.
2⁰=1

2¹=2

2²=4

2³=8

2⁴=16

2⁵=32

2⁶=64

Dst.

Perhitungan

Desimal	Biner (8 bit)
0	0000 0000
1	0000 0001
2	0000 0010
3	0000 0011
4	0000 0100
5	0000 0101
6	0000 0110
7	0000 0111
8	0000 1000
9	0000 1001
10	0000 1010
11	0000 1011
12	0000 1100
13	0000 1101
14	0000 1110
15	0000 1111
16	0001 0000

Perhitungan dalam biner mirip dengan menghitung dalam sistem bilangan lain. Dimulai dengan angka pertama, dan angka selanjutnya. Dalam sistem bilangan desimal, perhitungan mnggunakan angka 0 hingga 9, sedangkan dalam biner hanya menggunakan angka 0 dan 1.

contoh: mengubah bilangan desimal menjadi biner desimal = 10.

berdasarkan referensi diatas yang mendekati bilangan 10 adalah 8 (2³), selanjutnya hasil pengurangan 10-8 = 2 (2¹). sehingga dapat dijabarkan seperti berikut:

10 = (1 x 2³) + (0 x 2²) + (1 x 2¹) + (0 x 2⁰).

Dari perhitungan di atas bilangan biner dari 10 adalah 1010 dapat juga dengan cara lain yaitu 10 : 2 = 5 sisa 0 (0 akan menjadi angka terakhir dalam bilangan biner), 5(hasil pembagian pertama) : 2 = 2 sisa 1 (1 akan menjadi angka kedua terakhir dalam bilangan biner), 2(hasil pembagian kedua): 2 = 1 sisa 0(0 akan menjadi angka ketiga terakhir dalam bilangan biner), 1 (hasil pembagian ketiga): 2 = 0 sisa 1 (0 akan menjadi angka pertama dalam bilangan biner) karena hasil bagi sudah 0 atau habis, sehingga bilangan biner dari 10 = 1010 atau dengan cara yang singkat 10:2=5(0),5:2=2(1),2:2=1(0),1:2=0(1)sisa hasil bagi dibaca dari belakang menjadi 1010.

Konversi Desimal ke Biner

Konversi dari bilangan desimal ke biner, dengan cara pembagian, dan hasil dari pembagian itulah yang menjadi nilai akhirnya.

Contoh: 10 (10) =...... (2)

Solusi:
10 dibagi 2 = 5, sisa = 0.

5 dibagi 2 = 2, sisa = 1.

2 dibagi 2 = 1, sisa = 0

Cara membacanya dimulai dari hasil akhir, menuju ke atas, 1010.

 Konversi Desimal ke Oktal

Caranya hampir sama dengan konversi desimal ke hexadesimal.

Contoh:25(10) =......(8)

Solusi:
25 dibagi 8 = 3 sisa 1.

Hasilnya dapat ditulis: 31(8)

Konversi Desimal ke Heksadesimal

Ada cara dan metodenya, namun bagi sebagian orang masih terbilang membingungkan. Cara termudah adalah, konversikan dahulu dari desimal ke biner, lalu konversikan dari biner ke hexadesimal.
Contoh: 75(10) =......(16)

Solusi:
75 dibagi 16 = 4 sisa 11 (11 = B).

Dan hasil konversinya: 4B(16)

II.3.4 Konversi Heksadesimal

# Konversi Hexadesimal ke Biner 

Metode dan caranya hampir serupa dengan konversi Oktal ke Biner. Hanya pengelompokkannya sebanyak empat bit. Seperti pada tabel utama. 

Contoh: 2A(16) =......(2) 

Solusi:
A = 1010 

2 = 0010 

Hasil: 101010(2). Dengan catatan, angka "0" paling depan tidak usah ditulis. 

II.3.2  Konversi Biner

Konversi Biner ke Desimal

Proses konversi bilangan biner ke bilangan desimal adalah proses perkalian setiap bit pada bilangan biner dengan perpangkatan 2, dimana perpangkatan 2 tersebut berurut dari kanan ke kiri bit bernilai 20 sampai 2n.

Langsung saja ambil contoh bilangan yaitu 110012. Misalkan bilangan tersebut saya ubah posisinya mulai dari kanan ke kiri menjadi seperti ini.

             Nah, saatnya mengalikan setiap bit dengan perpangkatan 2. Ingat, perpangkatan 2 tersebut berurut mulai dari 20 sampai 2n, untuk setiap bit mulai dari kanan ke kiri. Maka :

1 ——> 1 x 20 = 1

0 ——> 0 x 21 = 0

0 ——> 0 x 22 = 0

1 ——> 1 x 23 = 8

1 ——> 1 x 24 = 16 —> perhatikan nilai perpangkatan 2 nya semakin ke bawah semakin besar maka hasilnya adalah 1 + 0 + 0 + 8 + 16 = 2510.

 Konversi Biner ke Oktal

Metode konversinya hampir sama. Cuma, karena pengelompokkannya berdasarkan 3 bit saja, maka hasilnya adalah:

Contoh:
1010 (2) =...... (8)

Solusi:
Ambil tiga digit terbelakang dahulu.

1010(2) = 2(8)

 Konversi Biner ke Heksadesimal

Metode konversinya hampir sama dengan Biner ke Oktal. Namun pengelompokkannya sejumlah 4 bit. Empat kelompok bit paling kanan adalah posisi satuan, empat bit kedua dari kanan adalah puluhan, dan seterusnya.

Contoh: 

11100011(2) = ...... (16)

Solusi: kelompok bit paling kanan: 0011 = 3 kelompok bit berikutnya: 1110 = E Hasil konversinya adalah: E3

 II.3.3  Konversi Oktal

Konversi Oktal ke Desimal

Hal ini tidak terlalu sulit. Tinggal kalikan saja setiap bilangan dengan perpangkatan 8.

Contoh, bilangan oktal yang akan dikonversi adalah 718 dan proses perkaliannya sbb :

1 x 80 = 1

7 x 81 = 56

Maka hasilnya adalah penjumlahan 1 + 56 = 5710.

 Konversi Oktal ke Biner

Sebenarnya, untuk konversi basis ini, haruslah sedikit menghafal tabel konversi utama yang berada di halaman atas. Namun dapat dipelajari dengan mudah. Dan ambillah tiga biner saja.

Contoh: 523(8) = ...... (2)

Solusi: Dengan melihat tabel utama, didapat hasilnya adalah: 3 = 011, 2 = 010, 5 = 101 Pengurutan bilangan masih berdasarkan posisi satuan, puluhan dan ratusan. Hasil: 101010011(2)

 Konversi Oktal ke Heksadesimal

Untuk konversi oktal ke heksadesimal, kita akan membutuhkan perantara, yaitu bilangan biner. Maksudnya adalah kita konversi dulu oktal ke biner, lalu konversikan nilai biner tersebut ke nilai heksadesimalnya. 

Contoh: 726(8) = ...... (16)

Solusi
Solusi: Dengan melihat tabel utama, didapat hasilnya adalah: 7 = 111, 2 = 010, 6=110 Pengurutan bilangan masih berdasarkan posisi satuan, puluhan dan ratusan. Hasil: 111010110 (2), setelah didapat nilai binernya kita bagi 4 bit.

0110= 6 1011= D 0001= 1

Jadi 726(8) = 1D6(16)

 II.3.4  Konversi Heksadesimal

Konversi Heksadesimal ke Desimal

Untuk proses konversi ini, caranya sama saja dengan proses konversi biner ke desimal, hanya saja kali ini perpangkatan yang digunakan adalah perpangkatan 16, bukan perpangkatan 2. Sebagai contoh, melakukan konversi bilangan heksa C816 ke bilangan desimal.  dan kemudian dilakukan proses perkalian dengan perpangkatan 16, sebagai berikut :

8 x 160 = 8

C x 161 = 192 ——> ingat, C16 merupakan lambang dari 1210

Maka diperolehlah hasil konversinya bernilai 8 + 192 = 20010.

 Konversi Heksadesimal ke Biner

Metode dan caranya hampir serupa dengan konversi Oktal ke Biner. Hanya pengelompokkannya sebanyak empat bit. Seperti pada tabel utama. 

Contoh: 2A(16) =......(2) 

Solusi:
A = 1010 

2 = 0010 

Hasil: 101010(2). Dengan catatan, angka "0" paling depan tidak usah ditulis. 

 Konversi Heksadesimal ke Oktal sama seperti konversi oktal ke heksadesimal, kita membutuhkan bantuan bilangan biner. Lakukan terlebih dahulu konversi heksadesimal ke biner, lalu konversikan nilai biner tersebut ke oktal.

Contoh:
1D6(16) = ...... (8)

Solusi
Solusi: Dengan melihat tabel utama, didapat hasilnya adalah: 1 = 0001, D = 1101, 6=0110 Pengurutan bilangan masih berdasarkan posisi satuan, puluhan dan ratusan. Hasil: 111010110 (2), setelah didapat nilai binernya kita bagi 3 bit.

110 = 6 010= 2 110= 7

Jadi 726(8) = 1B6(16)

Pengganda atau Multiplier adalah rangkaian elektronika digital yang berfungsi untuk mengalikan dua buah bilangan dalam sistem bilangan dwi-an atau biner (binary). Jenis rangkaian ini biasanya merupakan bagian dari ALU (Arithmetic Logical Unit) di dalam mikroprosesor atau CPU (Central Processing Unit) atau otak dari sebuah komputer. Namun demikian, rangkaian ini bisa dibuat secara tersendiri untuk keperluan tertentu, dan bisa diprogram secara perangkat keras di dalam FPGA.

Beberapa macam teknik atau cara dapat dipakai untuk merealisasikan operasi perkalian aritmatika ini. Salah satunya adalah dengan mengalikan secara parsiel masing masing bit, kemudian menjumlahkan semua hasil dari perkalian parsiel tersebut. Hal ini mirip dengan proses perkalian bilangan desimal (bilangan basis-10) yang dilakukan oleh murid Sekolah Dasar. Jika dua buah bilangan biner, a dan b, masing-masing 2 bit (membentuk angka 00, 01, 10, dan 11) dikalikan satu sama lain, maka akan kita peroleh hasil perkalian dalam bentuk bilangan biner 4 bit, seperti nampak pada tabel di bawah ini. Bilangan a ada di kolom paling kiri, dan bilangan b ada di baris paling atas, sementara hasil kalinya ada di dalam masing-masing sel.

×	00	01	10	11
00	0000	0000	0000	0000
01	0000	0001	0010	0011
10	0000	0010	0100	0110
11	0000	0011	0110	1001

Cara lain dalam melihat operasi perkalian ini adalah dengan menyatakan bilangan pertama sebagai angka 2 bit a[1] dan a[0], sementara bilangan kedua dinyatakan dengan b[1] dan b[0]. Maka hasil kali parsielnya ada 4 buah: p0[0], p0[1], p1[0], dan p1[1] dengan:

Hasil kali akhir dari bilangan a dan b akan membentuk bilangan P 4 bit: P[3] P[2] P[1] P[0] dengan penjumlahan parsiel sebagai berikut:

Untuk bilangan 8 bit: a[7:0] dan b[7:0], banyaknya hasil kali parsiel juga ada 8 buah:

Hasil akhirnya merupakan penjumlahan dari semua hasil kali parsiel:

Kisah

Matteo Ricci mempelopori misononaris Jesuit di Cina, sebelum dilanjutkan oleh Adam Schall dan Ferdinand Verbiest. Kehadiran Jesuit – semua dari Eropa - ini lebih banyak terkait dengan bidang astronomi. Pada kesempatan ini seorang Jesuit, Pere Joachim Bouvet, berkirim surat dengan Leibnitz. Lewat surat ini Leibnitz memahami I-Ching (buku perubahan) dalam bentuk heksagram dimana kemudian dikaitkan dengan biner.

I Ching memang sejenis buku “wajib” di Cina. Isinya adalah sejenis ramalan yang tentunya tidak dipercaya orang Barat hanya dilirik sebagai buku yang sekedar berisi: garis lurus (Yang) dan garis patah dua (Yin) yang disusun mendatar. Rupanya, karena sulit mengartikan dan tidak tahu maknanya, Leibnitz menyusun menjadi bilangan biner yang hanya mengenal angka 0 dan angka 1.